|
实分析中的反例
作 者：汪林
ISBN：978-7-04-038651-6
出版时间：2013-11-11
|
-
-
- 0.引言
- 1.一个发散序列a_n, 使|a_n| 收敛
- 2.两个非负的发散序列, 其积却收敛于零
- 3.两个非负的发散序列, 其和却是一个收敛序列
- 4.算术平均值收敛的发散序列
- 5.不是有界变差的收敛序列
- 6.对每个正整数p, 都有lim_nrightarrow ∞ (a_n+p-a_n)=0的发散序列a_n
- 7.对任意严格递增的正整数序列phi _n=phi (n),能使lim_nrightarrow ∞ (a_phi (n)-a_n)=0的发散序列a_n
- 8.函数f, 对于它, 存在函数g使g°f=I, 而不存在函数h, 使f°h=I
- 9.函数f, 对于它, 存在无穷多个g适合f° g=g° f
- 10.在某点对称连续而不连续的函数
- 11.函数f, 使f在x_0的任何邻域内都是无界的, 但当xrightarrow x_0时f(x)并不趋于无穷大
- 12.没有最小正周期的非常值周期函数
- 13.一个处处不连续的非常值周期函数, 它具有最小正周期
- 14.存在一个没有最小正周期的周期函数, 它的值域是可数集
- 15.存在一个没有最小正周期的周期函数, 它的值域是不可数集
- 16.存在两个具有不同周期的周期函数, 其和仍是一个周期函数
- 17.存在两个具有最小正周期的函数, 它们之间无可公度的周期, 但其和 (积) 仍为周期函数
- 18.存在一个非周期函数f, 使|f|是周期函数
- 19.处处有限而又处处局部无界的函数
- 20.一个无处连续函数, 其绝对值却处处连续
- 21.有唯一个连续点的函数
- 22.关于乘积函数连续性的例子
- 23.关于复合函数连续性的例子
- 24.两个正则函数, 构成非正则的复合函数
- 25.[0,1] 的一个闭子集X_0 及X_0 到X_0 上的两个可换连续映射f,g,不存在f,g 的可换连续扩张
- 26.函数y=f(u),u=g(x) 适合lim_urightarrow Af(u)=B,lim_xrightarrow Ag(x)=A,但lim_xrightarrow Af[g(x)] 不存在
- 27.函数y=f(u) 和u=g(x), 其复合函数f[g(x)] 处处连续, 并适合lim_urightarrow b f(u)=c, lim_xrightarrow Ag(x)=b, lim_xrightarrow Af[g(x)]≠c
- 28.函数f_n(x)(n=1,2,cdots )在x_0均连续, 而f(x)=sup_nf_n(x) 在x_0间断
- 29.一个无处连续函数, 其反函数却处处连续
- 30.有限区间上的一个一对一的连续函数, 其反函数不连续
- 31.不能作为任何连续函数序列的极限的函数
- 32.[0,1]上的一个函数f, 它的连续点所成之集在[0,1]中稠密, 但f不是某个连续函数序列的极限
- 33.[0,1]上的一个具有不可数间断点的函数, 它却是某个连续函数序列的极限
- 34.函数序列f(n)_k, 对于任意固定的n, 当k rightarrow ∞ 时f(n)_k(x) 处 处收敛于f(n)(x),而当nrightarrow ∞ 时f(n)(x) 处处收敛于 f(x), 但f(n)_k(x) 的任何子列并不处处收敛于f(x)
- 35.仅在有理点间断的严格递增的函数
- 36.在 Cantor 集上连续而在它的邻接区间上无处连续的函数
- 37.在 Cantor 集上无处连续而在它的邻接区间上连续的函数
- 38.在任意给定的F_σ 型集上间断的函数
- 39.[0,1]上的一个函数f, 它的连续点所成之集A与间断点所成之集B 在[0,1]内都稠密, 且对任何开区间(α,β )subset [0,1],交集A cap (α,β )与B cap (α,β )都具有连续统的势
- 40.不能在全轴上作连续扩张的有界集上的有界连续函数
- 41.以一个任意的非紧集为定义域的连续的无界函数
- 42.(0,+∞ )上的一个实值函数f, 它在无穷多个点上连续, 且对每一xin (0,+∞ ),f(x)=0当且仅当f(2x)≠
- 43.[0,+∞ )上的一个连续且有界的函数, 它在[0,+∞ )上不一致连续
- 44.两个一致连续的函数, 其积不一致连续
- 45.一个一致连续的函数, 其反函数不一致连续
- 46.两个间断函数, 其最小值函数却是一致连续的
- 47.在开区间I_1与I_2上均一致连续, 但在I_1∪ I_2上不一致连续的函数
- 48.两个单调函数f,g,其中f连续而g间断, 但复合函数f° g 却是连续的单调函数
- 49.两个区间之间一个无处单调的一一对应
- 50.两个严格递增的函数, 其积不是单调函数
- 51.无处单调的连续函数
- 52.以一个任意的非紧集为定义域的连续的有界函数, 它没有极值
- 53.定义域为紧集的没有局部极值的有界函数
- 54.有无穷多个局部极大值而无局部极小值的函数
- 55.处处取得局部极小值的非常值函数
- 56.在每个区间上有一个真正局部极大的函数
- 57.具有介值性质的间断函数
- 58.两个具有介值性质的函数, 其和却没有介值性质
- 59.定义在[0,1)内而取值于[0,1]中的一个无处连续函数, 它在每个任意小的非空子区间上都取尽[0,1]中的一切值
- 60.一个无处连续的开函数, 它在任何区间上都不具有介值性质
- 61.一个无处连续函数f, 而具有性质f(x+y)=f(x)+f(y)
- 62.若干个半连续函数, 它们的和是一个无处半连续的函数
- 63.两个半连续函数, 其最小值函数并不半连续
- 64.无处半连续的函数
- 65.无处连续而又处处半连续的函数
- 66.一个收敛的上半连续函数序列, 其极限函数并不上半连续
- 67.一个不连续映射, 使开集的像是开集
- 68.一个连续映射, 使某个无界闭集的像不是闭集
- 69.一个疏集A, 以及从A到单位闭区间[0,1]上的一个连续映射
