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实分析中的反例
作 者：汪林
ISBN：978-7-04-038651-6
出版时间：2013-11-11
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- 0.引言
- 1.[0,1]上的一个(L)可积函数f,使sum∞_n=1nm E[x:f(x)geqslant n]=+∞
- 2.[0,+∞ )上的一个非负连续的(L)可积函数f,使lim_xrightarrow +∞ f(x)=0不成立
- 3.可测集E上的非负有界可测函数序列f_n,使lim_nrightarrow ∞ intop nolimits_Ef_n(x)dx=0,而f_n 却无处收敛于零
- 4.[0,1]上的一个实值连续函数序列f_n,使f_1(x)geqslant f_2(x)geqslant cdots geqslant 0,且若有连续函数f适合f_n(x)geqslant f(x)geqslant 0 (n=1,2,cdots ),则f≡ 0.但lim_nrightarrow ∞ intop nolimits 1_0f_n(x)dx≠
- 5.一个在E上并不依测度收敛于零的函数序列f_n,使对每一可测集esubset E,都有lim_nrightarrow ∞ intop nolimits_ef_n(x)dx=
- 6.任给趋于零的数列a_n,可构造一个非负可测函数序列f_n,使sum∞_n=1a_nintop nolimits_Ef_n(x)dx收敛, 而f_n 在E上无处收敛于零
- 7.一个(L)可积函数f和有限个区间的并集I(n),使lim_nrightarrow ∞ intop nolimits_I(n)f(x)qopname ocosnxdx≠
- 8.(L)可积而不(R)可积的有界函数
- 9.广义(R)可积而不(L)可积的函数
- 10.(L)可积而不广义(R)可积的非负函数
- 11.任给非几乎处处有界函数f,可构造一个(L)可积函数g,使fg不(L)可积
- 12.[0,1]上的一个有界可测函数f,使对任何(R)可积函数g,都有intop nolimits_[0,1]|f(x)-g(x)|dx>
- 13.在每个子集上都(L)可积, 但在并集上并不(L)可积的函数
- 14.R1上的一个非负(L)可测函数f, 使对任何区间(a,b)(a0,但intop nolimits_R1f(x)dx≠+∞
- 15.函数f,处处适合0≤ f(x)<+∞ ,但在每个非空开区间(a,b)上, intop nolimits b_af(x)dx=+∞
- 16.任给fin L[a,b],可构造集Asubset [a,b],使mA=b-a,且对任一rin R1和任一xin A,都有lim_hrightarrow 0frac1hintop nolimits x+h_x|f(t)-r|dt=|f(x)-r|
- 17.[0,+∞ )上的一个非负的上半连续函数f,使intop nolimits +∞ _0f(x)dx=+∞ ,而对每一h>0,有sum∞_n=1f(nh)<+∞
- 18.R1上的一个一致有界的(L)可测函数序列f_n,使对任何区间[a,b],f_n 中都不存在在[a,b]上几乎处处收敛的子列
- 19.Lebesgue 有界收敛定理中mE<+∞ 的条件不可去掉
- 20.Lebesgue 有界收敛定理中函数序列一致有界的条件不可去掉
- 21.Lebesgue 控制收敛定理中控制函数的可积性的条件不可去掉
- 22.Vitali 定理中mE<+∞ 的条件不可去掉
- 23.使 Fatou 引理中等号不成立的函数序列
- 24.一个变号的收敛可测函数序列, 使 Fatou 引理的结论不成立.
- 25.Levi 定理中函数序列非负性的条件不可去掉
- 26两个平方(L)可积的函数, 它们的和不是平方(L)可积的
- 27.一个非负函数f,使fin L2[1,+∞ ),但intop nolimits +∞ _1fracf(x)sqrtxdx=+∞
- 28.不属于任何Lp(0,1)(p>0)的非负可测函数
- 29.属于Lp-delta (0,a)而不属于Lp(0,a)的非负可测函数, 其中0
- 30.属于L2(0,+∞ )而不属于任何Lp(0,+∞ )(p>0,p≠2)的非负可测函数
- 31.函数f和g,使intop nolimits_E|f(x)+g(x)|pdx1/ptmspace -thinmuskip.1667em>tmspace -thinmuskip.1667emintop nolimits_E|f(x)|pdx1/ptmspace -thinmuskip.1667em+tmspace -thinmuskip.1667emintop nolimits_E|g(x)|pdx1/p,这里, 0
- 32.连续单调函数g和连续函数f,适合intop nolimits 1_0f(x)dg(x)≠intop nolimits 1_0f(x)g'(x)dx
- 33.函数f与g,使f关于g是 Lebesgue-Stieltjes 可积而不是 Riemann-Stieltjes 可积
- 34.使lim_prightarrow +∞ ‖f‖_Lp(E)=‖f‖_L∞ (E) 不成立的函数f
- 35.L∞ (R1)中的一个函数f,使不存在R1上的连续函数序列f_n,适合lim_nrightarrow ∞ ‖f-f_n‖_L∞ (R1)=
- 36.R1上的一个非负(L)可积函数, 使对任何非空区间[a,b],它在[a,b]上都不是本性有界的
- 37.一个(L)可积函数, 它的某个近似连续点不是 Lebesgue 点
- 38.存在函数f,使f(x_0)是其不定积分在x_0的导数,但f在点x_0并不近似连续
