Elliptische Funktionen, insbesondere Modulfunktionen (einschließlich Zahlentheorie).

Abschnitt I.

§1.Die rationalen Invarianten des elliptischen Integrals. Beziehung zu den Perioden.

§ 2.Die algebraischen Invarianten des elliptischen Integrals.

§ 3.Der Modul x und die Legendresche Normalform 6).

§ 4.Die quadratische Transformation und die Transformationvierter Ordnung.

§5.Darstellung der rationalen Invarianten durch die Perioden.

§6.Das Doppelverhältnis als Funktion von ω. Konforme Abbildung.

§7.Die Invariante J als Funktion von ω.

§8. Einteilung der Substitutionen ω

§9.Die Perioden ω1 , ω2 als hypergeometrische Reihen, welche nach J

Abschnitt II.Die Gleichungen zwischen den Invarianten bei Transformation der elliptischen Funktionen. Auflösung der Jacobischen Gleichungen sechsten Grades mit A=O.

§1.Gleichungen, welche einen Parameter enthalten.

§2.Gleichungen, welche sieh durch elliptische Modulfunktionen lösen lassen.

§3.Die Gleichungen zwischen J' und J.

§4.Verzweigung von J' in bezug auf J.

§5.Vertauschung von J und J'.

§6.Das Geschlecht der Transformationsgleichung.

§7.Das Fundamentalpolygon.

§8.Zusammengehörigkeit der Kanten des Fundamentalpolygons.

§9.Die Riemannsche Fläche für n = 5.

§10.Die Riemannsche Fläche für n = 7.

§11.Die Riemannsche Fläche für n = 13.

§12.Die Fälle n = 2 und n = 3.

§13.Der Fall n = 4.

§14.Aufstellung der Transformationsgleichungen.

§15.Fertige Formeln für n = 2, 3, 4, 5, 7, 13.

§16.Der Multiplikator für das durch normierte Integral.

§17.Auflösung der aufgestellten Gleichungen.

§18.Die Multiplikatorgleichungen [erster Stufe] für n = 5 und n = 7.

Abschnitt III.Galoissche Resolventen. Bedeutung der Ikosaedergleichung.

§1.Galoissche Resolventen, welche einen Parameter enthalten.

§2.Galoissche Resolventen vom Geschlechte Null.

§3.Galoissche Resolventen, welche durch elliptische Modulfunktionen lösbar sind.

§4.Die Galoisschen Resolventen der Gleichungen zwischen J.und J'.

§5.Im Raume gelegene Riemannsche Flächen.

§6.Verwertung der Galoisschen Resolventen.

§7.Die Gleichung für das Doppelverhältnis.

§8.Die Tetraedergleichung.

§9.Die Oktaedergleichung.

§10.Die lkosaedergleichung.

§11.Auflösung der Gleichung für das Doppelverhältnis.

§12.Auflösung der Tetraedergleichung.

§13.Die Auflösung der Oktaedergleichung.

§14.Die Auflösung der lkosaedergleichung.

§15.Vergleich der verschiedenartigen Auflösungen der Ikosaedergleichung 43 ).

Abschnitt IV.Modulargleichungen. —Die Auflösung der Gleichungen fünften Grades.

§1.Über Modulargleichungen im allgemeinsten Sinne.

§2.Die Ikosaederirrationalität.

§3.Simultane Änderungen der zusammengehörigen lkosaederirrationalitäten.

§4.Die Modulargleichungen zwischen η und ζ .

§5.Geometrisches über die Bring-Jerrardsche Form49 ).

§6.Die Bring-Jerrardsche Form als Resolvente der Ikosaedergleichung.

§7.Die Hermitesche Gleichung.

§8.Die Jacobischen Gleichungen sechsten Grades mit B = 0.

§9.Die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade.

§1.Die Angaben von Betti. Plan der Untersuchung.

§2.Der Fall n = 5.

§3.Der Fall n = 7.

§4.Der Fall n = 11.

§5.Allgemeines über die Aufstellung der Gleichungen.

§6.Formeln für n = 5.

§7.Formeln für n = 7.

§1.Einteilung der Substitutionen in bezug auf den Modul 7.

§2.Die Funktion η (ω) und ihre Verzweigung in bezug auf J.

§3.Die Normalkurve von der vierten Ordnung.

§4.Gleichungsformen der Kurve vierter Ordnung.

§5.Die 168 Kollineationen bezogen auf das Wendedreieck. Sonstige Formeln.

§6.Aufstellung der Gleichung 168-ten Grades14).

§7.Resolventen niederen Gfades.

§8.Die Resolvente vom achten Grade.

§9.Berührungskurven dritter Ordnung. —Auflösung der Gleichung 168-ten Grades.

§10.Die Resolvente siebenten Grades.

§11.Ersetzung der Riemannschen Fläche des§2 durch eine regulär eingeteilte Oberfläche.

§12.Erklärung der beigegebenen Hauptflgur [auf S.126].

§13.Die 28 Symmetrielinien.

§14.Definitive Gestalt unserer Fläche.

§15.Die reellen Punkte der Kurve vierter Ordnung.

§1.Über gewisse elfblättrige Riemannsche Flächen 1).

§2.Gruppe der Monodromie.

§3.Die Gruppe der 660 y-Substitutionen.

§4.Ungeändert bleibende ganze Funktionen der y.

§5.Elfwertige ganze Funktionen der y.

§6.Spezialisierung des y-Problems.

§7.Die Doppelkurve von H = 0.

§8.Die Gleichung J = F ( z).

§9.Die zweite Form der Gleichung des elften Grades.

§10.Zusammenstellung der bisherigen Resultate.

§11.Zusammenhang mit der Gleichung zwölften Grades.

§12.Zugehörige Formeln.

§1.Allgemeines über elliptische Modulfunktionen.

§2.Anwendung auf die Transformationstheorie.

LXXXIX. Über gewisse Teilwerte der θ-Funktion (1881)

§1.Rekapitulation der früheren Ergebnisse.

§2.Die von mir benutzten Größen sind Teilwerte von э1.

§3.Verhalten der z bei linearer Transformation der Perioden ω1, ω2.

§4.Die Kurve der z.17)

§5.Biquadratische Relationen zwischen den z.

Erläuternde Bemerkungen zu einzelnen Stellen des vorstehenden Aufsatzes Nr.LXXXIX

Abschnitt I.Übet die Teilwerte der σ-Funktion.

§1.Definition der Teilwerte.

§2.Verhalten der Teilwerte bei linearer Veränderung der Argumente.

§3.Herstellung anderer Größen aus den Teilwerten.

§4.Beziehung unserer Teilwerte auf die

Abschnitt II.Die Normalkurven n-ter Ordnung im allgemeinen und ihre zwiefache algebraische Darstellung.

§5.Grundlegende Sätze.

§6.Von der algebraischen Darstellung der Normalkurven.

A. Das kanonische Koordinatensystem der C3.

B. Das singuläre Koordinatensystem der C3.

§7.Zweierlei Koordinatensysteme bei beliebiger Normalkurve.

§8.Die Normalkurve n-ter Ordnung in kanonischer Darstellung.

§9.Das singuläre Koordinatensystem bei der Normalkurve n-ter Ordnung.

§10.Normierung der Xa31 ).

§11.Die quadratischen Relationen zwischen den Xa und das Integral erster

§12.Die ya, Za als Fundamentalmoduln der n-ten Stufe.

§13.Koordinatenverwandlungen bei der Normalkurve.

§14.Über die Verbindung des ersten singulären Systems mit dem ersten kanonischen.

§15.Verhalten der Xa bei linearer Transformation von ω1 , ω2.

§16.Vorläuflge Betrachtung von Xa ( u|—ω2,ω1).

§17.Berechnung von Xa (u|—ω2,ω1 ) mit Hilfe der Reihenentwicklungen.

§18.Verhalten der Ya, Za. Charakter der entstehenden Substitutionsgruppen.

§19.Der besondere Fall n = 3. Die Größen Xy ( u) usw.

§20.Verbindung der ya' und za mit Hilfe der Ay.

§ 1.

§ 2.

§ 3.

Hyperelliptische und Abelsche Funktionen.

§1.Begriff der σ-Funktionen.

§2.Aufstellung der zehn geraden σ-Funktionen.

§3.Bezeichnungen.

§4.Die Definition der sechs ungeraden σ-Die Kovarianteneigenschaft der σ-Funktion.

§5.Umgestaltung des in§2 eingeführten Exponentialfaktors.

§6.Verhalten der σ bei Vermehrung der Argumente um Perioden.

§7.Zur Theorie der Integrale dritter Gattung.

§8.Deflnition der Thetafunktionen durch Integrale dritter Gattung.

§9.Deflnition der σ-Funktionen durch Integrale dritter Gattung.

§10.Allgemeines zur Reihenentwicklung der σ-Funktionen.

§11.Spezielle Durchführung der Reihenentwicklungen. Erledigung des noch ausstehenden Beweises.

§12.Exkurs über elliptische Funktionen.

§13.Vergleich der elliptischen und hyperelliptischen Funktionen.

§14.Hyperelliptische Σ-Funktionen.

§1.Vorerinnerungen.

§2.Integrale zweiter Gattung.

§3.Von der Periodizität der σ-Funktionen.

§4.Darstellung der э durch die σ.

§5.Die elliptischen σ für mehrgliedriges Argument.

§6.Entsprechende Verallgemeinerung der σ für p = 2.

§7.Übergang zu beliebigem p. Festlegung der zugehörigen Integrale.

§8.Periodizität der Integrale.

§9.Definition der allgemeinen σ-Funktionen.

§10.Einige Eigenschaften der σ-Funktionen.

§11.Über die Reihenentwicklungen der σ nach steigenden Potenzen der w.

§12.Vorbereitungen zur Berechnung des ersten Terms der Reihen-entwicklungen.

§13.Die wirkliche Berechnung des ersten Terms.

§14.Die Periodizität der σ-Funktioncn. Der Übergang zu den э.

§15.Schlußbemerkungen.

Abschnitt I.Von den Funktionen auf gegebener Riemannscher Fläche.

§1.Die Riemannsche Fläche als Grundlage der Theorie. Integrale erster

§2.Einführung der Formentheorie auf Grund der ψ.

§3.Das Differential dω. Die Integrale zweiter Gattung.

§4.Die Primform Ω (x, y).

§5.Von den Mittelformen.

§6.Fälle besonders einfacher algebraischer Darstellung.

§7.Allgemeines über algebraische Formen auf eine Kurve.23)

§8.Kanonische Kurven.

§9.Grundformeln der kanonischen Darstellung.

§10.Von den Lösungen des Umkehrproblems.

§11.Wurzelformen bei kanonischen Kurven.

§12.Charakteristiken von Wurzelformen, insbesondere Primcharakteristiken.

§13.Fundamentalformeln für die auf kanonische Kurven bezogenen

§14.Beweis der aufgestellten Formeln nebst weiteren auf sie bezüglichen Bemerkungen.

§15.Die ebene Kurve vierter Ordnung. Algebraische Moduln der ersten

§16.Adjunktion von Wurzelformen und zugehörigen Moduln der zweiten Stufe.

§17.Von den Berührungskurven dritter Ordnung erster Art.

§18.Von den Berührungskurven dritter Ordnung zweiter Art.

§19.Von der Diskriminante der C4 und ihre Darstellung in den Rationalitätsbereichen erster und zweiter Stufe.

§20.Über das Verhalten der Berührungkurven dritter Ordnung beim Auftreten eines Doppelpunktes. 56)

§21.Neue Sätze über das Verhalten der Kurvendiskriminante.

§22.Erneute lnbetrachtuahme der Thetafunktionen.

§23.Das Produkt der Nullwerte der 36 geraden Thetafunktionen.

§24.Das Anfangsglied in der Reihenentwicklung des einzelnen э.

§25.Von den Funktionen Th.

§26.Exkurs über Integrale dritter Gattung.

§27.Die höheren Glieder in der Reihenentwickhmg der э.Die Sigmafunktionen.

Riemannsche Funktionentheorie und automorphe Funktionen.

Vorrede.

Abschnitt I.Einleitende Betrachtungen.

§1.Stationäre Strömungen in der Ebene als Deutung der Funktionen von x+iy.

§2.Berücksichtigung der Unendlichkeitspunkte von w = f(z).

§3.Rationale Funktionen und ihre Integrale.Entstehung höherer Unendlichkeitspunkte aus niederen.

§4.Realisation der betrachteten Strömungen auf experimentellem Wege.

§5.Übergang zur Kugelfläche, Strömungen auf beliebigen krummen Flächen.

§6.Zusammenhang der entwickelten Theorie mit den Funktionen eines

§7.Noch einmal die Strömungen auf der Kugel. Riemanns allgemeine

Abschnitt II.Exposition der Riemannschen Theorie.

§8.Klassifikation geschlossener Flächen nach der Zahl p.21 )

§9.Vorläufige Bestimmung stationärer Strömungen auf beliebigen Flächen.

§10.Die allgemeinste stationäre Strömung. Beweis für die Unmöglichkeit

§11.Erläuterung der Strömungen an Beispielen.

§12.Über die Zusammensetzung der allgemeinsten komplexen Funktion des

§13.Über die Vieldeutigkeit unserer Funktionen.Besondere Betrachtung eindeutiger Funktionen.

§14.Die gewöhnlichen Riemannschen Flächen über der x+iy-Ebene.

§15.Der Ring p = 1 und die zweiblättrige Fläche mit vier Verzweigungs-punkten über der Ebene40).

§16.Funktionen von x+iy, welche den untersuchten Strömungen entsprechen.

§17.Tragweite und Bedeutung unserer Betrachtungen.

§18.Weiterbildung der Theorie.

Abschnitt III.Folgerungen.

§19.Über die Moduln algebraischer Gleichungen.

§20.Konforme Abbildung geschlossener Flächen auf sich selbst.

§21.Besondere Betrachtung der symmetrischen Flächen.

§22.Konforme Abbildung verschiedener Flächen aufeinander.

§23.Berandete Flächen und Doppelflächen.

§24.Schlußbemerkung.

Abschnitt I.Über die allgemeinste Form der Riemannschen Fläche und die

§1.Allgemeiner Begriff der Riemannschen Mannigfaltigkeit.

§2.Rückübertragung auf die gewöhnliche Raumvorstellung.

§3.Beispiele.

§4.Berechnung der Zahl p.

§5.Anderweitige geometrische Deutungen.

§6.Literarisches zum Dirichletschen Prinzip.

§7.Über die direkte Konstruktion der Integrale erster Gattung23).

§8.Andere Gruppierung der Existenzbeweise.

§9.Berandete Flächen.

Abschnitt II.Das Prinzip der analytischen Fortsetzung.

§1.Erläuterung des Prinzips an einem Beispiele.

§2.Der allgemeine Fall.

§3.Verbesserte Auffassung des Prinzips. Reguläre und symmetrische Flächen.

§4.Funktionen mit linearen Transformationen in sich.

Abschnitt III.Eindeutige Funktionen mit linearen Transformationen in sich.

§1.Vorbemerkungen.

§2.Über die geometrische Bedeutung der einzelnen linearen Substitution.

§3.Der zur einzelnen Substitution zugehörige Fundamentalbereich.

§4.Funktionen, welche bei der einzelnen Substitution ungeändert bleiben.

§5.Stellung der Gruppentheorie.

§6.Weitere Beispiele brauchbarer Gebietseinteilungen.37 )

§7.Geometrischer Exkurs zum vorigen Paragraphen.

§8.Über die allgemeinsten, von uns in Betracht zu ziehenden Gruppen

§9.Kanonische Zerschneidung der Riemannschen Fläche (p, n).

§10.Der kanonische Fundamentalbereich in der η-Ebene.

§11.Die Gruppierung der Fundamentalbereiche.

§12.Über die zugehörige Substitutionsgruppe.

§13.Umkehr der bisherigen Betrachtungen.

§14.Die independenten Bestimmungsstücke der η-Funktion mit Hauptkreis.

§15.Die Variation der Konstanten, an einem Beispiele erläutert.

§16.Der Prozeß der lneinanderschiebung.

§17.Die neue η-Funktion auf der zugehörigen Riemannschen Fläche.

§18.Konstantenzahl des jeweiligen Normalfalles.

Abschnitt IV.Das Fundamentaltheorem.

§1.Formulierung desselben.

§2.Ansatz zum Beweise.

§3.Hilfssatz, betreffend die Eindeutigkeit der Beziehung.

§4.Kontinuitätsbeweis.

Abschnitt V.Vergleich mit den elliptischen Funktionen.

§1.[Umgrenzung des Begriffes.]

§2.[Anwendung insbesondere auf linear automorphe Funktionen.]

§3.[Von den Irrtümern, zu denen die hyperbolischen Zipfel Anlaß gegeben haben.]

§4.[Ausartung des Schnittsystems auf der Riemannschen Fläche beim Auf-

§5.[Überleitung zu den in Nr. CVI und CVII folgenden Untersuchungen.]

§1.Festlegung der Differentialgleichung. Das Oszillationstheorem. Das Polygon aul der η-Kugel.

§2.Unsere Fragestellung.Beispiel einer Differentialgleichung mit sechs singulären Punkten.

§3.Über den besonderen Fall der Differentialgleichung (1) mit den Exponentendifferenzen (0,0,0,0).

§4.Inangriffnahme des allgemeinen Falles der Differentialgleichung (1).

§5.Vorbereitungen zur Adaptierung des gewonnenen Ansatzes an das

§6.Riccati-Kurven.

§7.Endgültige Adaptierung der Involutionsbedingung (7) an das

Anhang.

A. Wissenschaftliche Abhandlungen

B. Wiesenschaftliche Bücher, autographierte Vorlesungshefte

C. Abhandlungen und Schriften über die Organisation des mathe-matischen Unterrichts und verwandte Fragen

D. Herausgabe von Zeitschriften, Sammelwerken, Werken anderer Mathematiker, Verschiedenes