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实分析中的反例
作 者：汪林
ISBN：978-7-04-038651-6
出版时间：2013-11-11
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- 0.引言
- 1.函数f, 使|f| (R)可积而f不(R)可积
- 2.没有原函数的(R)可积函数
- 3.在任何区间上都没有原函数的(R)可积函数
- 4.在闭区间上有原函数但不(R)可积的函数
- 5.以任意零测度的F_σ 集作为间断点集的(R)可积函数
- 6.与(R)可积函数对等但本身并不(R)可积的函数
- 7.一个(R)可积函数, 在某个可数集上任意改变它的值 (但这些数值全体要组成有界集合), 而不影响它的可积性
- 8.复合函数是否(R)可积的各种实例
- 9.两个函数f与g,使f2与g2皆(R)可积而(f+g)2并不(R)可积
- 10.一个有界函数序列的极限, 它在任何非空区间上都不(R)可积
- 11.一个(R)可积函数序列, 其上确界函数并不(R)可积
- 12.积分的极限不等于极限的积分的函数序列
- 13.一个(R)可积函数f, 使g(x)=intop nolimits x_0f(t)dt处处可微, 但在一个稠密集上,g'(x)≠f(x)
- 14.一个(R)可积函数f,使g(x)=intop nolimits x_0f(t)dt不处处可微
- 15.函数f和g, 使得f在[a,b]上(R)可积,g在[a ,b]上不变号且(R)可积, 而在(a,b)中不存在满足等式 intop nolimits B_Af(x)g(x)dx=f(xi )intop nolimits B_Ag(x)dx 的xi
- 16.函数f和g, 使intop nolimits c_Af(x)dg(x)和intop nolimits B_cf(x)dg(x)均存在, 而intop nolimits B_Af(x)dg(x)不存在(a
- 17.函数f和g, 使intop nolimits B_Af(x)dg(x)存在, 但改变f在某个点的值,intop nolimits B_Af(x)dg(x)就不存在
- 18.(0,1)上的一个无界函数, 其广义(R)积分intop nolimits 1_0f(x)dx不是对应的积分和式sumn-1_i=0f(xi _i)Delta x_i 的极限
- 19.(0,1)内的一个单调函数f,使lim_nrightarrow ∞ sumn-1_k=1frac1nfleft (fracknright )存在而f并不广义(R)可积
- 20.收敛而不绝对收敛的广义积分
- 21.函数f和g,使f广义(R)可积而g有界, 但fg 并不广义(R)可积
- 22.[0,+∞ )上的一个函数, 它在[0,+∞ )的任何有限子区间上取正值、有界、可积, 并且积分intop nolimits +∞ _0(f(x))αdx 当α=1时收敛, 而当α为不等于1的实数时发散
- 23.函数f,使|f|广义(R)可积而f2并不广义(R)可积
- 24.[1,+∞ )上的一个函数f,使f2广义(R)可积而|f|并不广义(R)可积
- 25.在[1,+∞ )上广义(R)可积的正值连续函数f, 使lim_xrightarrow +∞ f(x)≠
- 26.广义积分intop nolimits +∞ _0f(x)dx收敛而在每个区间[a,+∞ )(a>0)上f(x)是无界、非负连续函数
- 27.一个有理函数R, 使对任何在(-∞ ,+∞ )上广义(R)可积函数f, 都有intop nolimits +∞ _-∞ f[R(x)]dx=intop nolimits +∞ _-∞ f(x)dx
- 28.Cauchy 主值为有限的发散广义积分
